|
Класс Decimal для точного представления вещественных чиселКурс по стандартной библиотеке: https://stepik.org/a/259466?utm_source=proproprogs На данный момент мы с вами знакомы с тремя основными числовыми типами языка Python:
Причем, комплексные числа состоят из данных вещественного типа float. Поэтому можно выделить два основных числовых типа: int и float. Целочисленные значения относительно просто кодируются на уровне бит без искажений. Например: 192
= 1100 0000
И так далее. А вот с вещественными числами дела обстоят куда сложнее. Они кодируются в виде конечных двоичных дробей. Однако не каждое дробное число можно точно представить такими двоичными дробями. Классический пример – число 0.1, которое не может быть точно описано на уровне бит стандартной схемой. В итоге получаем следующий известный арифметический казус в программировании: 0.1+0.1+0.1 = 0.30000000000000004 Из-за неточности представления числа 0.1, приведенная сумма дает некоторую погрешность. И это лишь один из многочисленных случаев, когда вещественные операции приводят к некоторым расхождениям с точными теоретическими значениями. Хорошая новость в том, что в большинстве приложений такой незначительной погрешностью можно пренебречь. Чаще всего так и делают, но при этом имеют в виду ее наличие. Например, в программировании крайне не рекомендуется выполнять сравнение на равенство вещественных чисел: d = float(input()) if d == 0.78: # так делать не надо! print("Wow!!!") Из-за погрешностей представления вещественных чисел такое сравнение может не сработать, даже при формальном математическом равенстве. Поэтому в таких ситуациях принято задавать некоторую погрешность при сравнении на равенство вещественных величин, например, так: delta = 1e-6 if abs(d-0.78) < delta: print("Wow!!!") Однако иногда, все же, возникают задачи, где нужна математическая точность представления вещественных чисел и операций с ними. Классический пример – финансовые программные продукты. Здесь каждая доля копейки имеет значение. И связано это, отнюдь, не столько из-за чрезмерной жадности финансовых воротил, сколько из-за уязвимостей, которые несут в себе погрешности вычислений. Чтобы у вас не осталось в этом никаких сомнений приведу один реальный пример. Группа программистов, разрабатывая программный модуль по проведению финансовых транзакций, воодушевилась внезапной гениальной мыслью: а что если каждую крупную транзакцию округлять в свою пользу так, чтобы получать с нее доли копейки. Этого же даже никто и не заметит? Сказано, сделано! Прошли годы. Схема успешно приносила горе-дельцам ощутимую прибыль. Но аудит не дремал. Была выявлена большая недостача. Тщательное расследование в конце-концов вышло на эту злополучную схему, виновные были наказаны, справедливость восторжествовала. Мораль. Даже незначительные искажения данных могут приводить к значимым финансовым потерям. Создание объектов класса DecimalИтак, я думаю, вы теперь в полной мере осознаете, как иногда важны предельно точные вычисления с вещественными числами. Поэтому для их проведения в Python был добавлен специальный класс Decimal. С помощью этого класса можно создавать новое представление вещественных чисел, отличное от стандартного float. Делается это следующим образом: a = Decimal('0.1') b = Decimal(7) c = Decimal('-0.3') d = Decimal(-13) e = Decimal('1e-8') Обратите внимание, что вещественные числа следует прописывать в виде строки, чтобы не было искажений в корректности их точного представления. Формально можно указать и любое вещественное число: f = Decimal(0.1) или с помощью метода from_float(): g = Decimal.from_float(0.3) но делать так крайне не рекомендуется, т.к. сначала 0.1 и 0.3 будут закодированы, как тип float, т.е. неточно, и только потом искаженные значения разместятся в объектах класса Decimal. Мы в этом легко можем убедиться: for x in a, b, c, d, e, f, g: print(f"{x:.20f}") В консоли увидим: 0.10000000000000000000
Как видите, последние значения вместо 0.1 и 0.3 имеют некоторый шум представления. Тогда как аналогичное число 0.1, записанное в виде строки, такой погрешности не имеет. Обратное конвертирование объектов класса Decimal в числаОбъекты класса Decimal всегда можно конвертировать в стандартные числовые типы данных int или float. Например, пусть имеется объект: res = Decimal('1.57843') Чтобы его преобразовать в тип float достаточно прописать: res_f = float(res) # 1.57843 Или же его можно привести к целочисленному типу int: res_i = int(res) # 1 В этом случае будет отброшена дробная часть. Арифметические операции с объектами класса DecimalС объектами класса Decimal можно выполнять все стандартные арифметические операции. Например, пусть заданы числа: a = Decimal('5.3') b = Decimal('3.1415') d = Decimal('7') e = Decimal('3') Тогда с ними можно выполнять следующие вычисления: a + b # Decimal('8.4415') b - a # Decimal('-2.1585') a * e # Decimal('15.9') b / a # Decimal('0.5927358490566037735849056604') a // b # Decimal('1') d % e # Decimal('1') И с комбинацией обычных целых чисел языка Python: e ** 2 # Decimal('9') a + 7 # Decimal('12.3') 8 / a # Decimal('1.509433962264150943396226415') d % 4 # Decimal('3') И так далее. А вот применять обычные вещественные числа недопустимо, возникнет ошибка TypeError: a + 0.1 # TypeError Если все же возникает необходимость использования чисел типа float, то их предварительно нужно обернуть в класс Decimal: a + Decimal('0.1') # Decimal('5.4') При этом желательно, чтобы вещественное число было представлено в виде строки, иначе потеряется смысл использования класса Decimal. Также следует иметь в виду, что операция деления на ноль: d / 0 # decimal.DivisionByZero приводит к ожидаемому исключению типа decimal.DivisionByZero. Также с объектами класса Decimal допустимо выполнять операции вида: a += b # Decimal('8.4415') d *= 2 # Decimal('14') b /= e # Decimal('1.047166666666666666666666667') И так далее. Операции сравнений с объектами класса DecimalПомимо базовых арифметических операций с объектами класса Decimal можно использовать все стандартные операции сравнения. Например: a == b # False a == 5.3 # False a == Decimal('5.3') # True b < a # True a >= b # True d == 7 # True d == Decimal('7') # True d != e # True Смотрите, сравнение a == 5.3 возвращает False, тогда как a == Decimal('5.3') – значение True. Ранее мы уже говорили, что вещественные числа типа float не следует сравнивать между собой обычным равенством. Но числа Decimal можно, т.к. они имеют точное представление в памяти устройства. При сравнении с целыми числами таких проблем не возникает, поэтому обе команды: d == 7 # True d == Decimal('7') # True возвращают True. Способ кодирования объектов класса DecimalНа практике вполне может возникнуть необходимость сохранения значений класса Decimal, например, в БД или даже экспорта этих значений в другие приложения, где этот класс отсутствует. Один из самых простых способов это сделать – представить вещественное число в виде следующего кортежа: (знак числа, (кортеж из цифр), значение экспоненты) Например, для числа: a = Decimal('5.3') путем вызова метода as_tuple() получим следующий кортеж: a.as_tuple() # DecimalTuple(sign=0, digits=(5, 3), exponent=-1) Здесь sign=0 – означает положительное число (1 – для отрицательных); digits=(5, 3) – набор цифр числа; exponent=-1 означает 10^-1 степени, т.е. число из цифр 53 нужно разделить на 10 для получения итогового значения 5.3. Давайте то же самое проделаем с числом: b = Decimal('-85.12306946') получим: DecimalTuple(sign=1, digits=(8, 5, 1, 2, 3, 0, 6, 9, 4, 6), exponent=-8) Теперь знак отрицательный (sign=1), а набор чисел нужно разделить на 10^8 степени, т.е. последние 8 цифр расположить в дробной части. Мало того, мы можем формировать новые числа Decimal на основе такого представления. Например: c = Decimal((0, (3, 1, 4, 1, 5), -4)) # Decimal('3.1415') d = Decimal((1, (8, 7), 0)) # Decimal('-87') e = Decimal((0, (1, 2), 3)) # Decimal('1.2E+4') Это удобный способ точного описания вещественных чисел при их экспорте и импорте. Специальные значения чисел класса DecimalПомимо обычных числовых значений объекты класса Decimal могут принимать еще два специальных:
Эти значения можно задать напрямую следующим образом: d_nan1 = Decimal('NaN') d_nan2 = Decimal('-NaN') и d_inf1 = Decimal('Infinity') d_inf2 = Decimal('-Infinity') Они крайне редко возникают на практике, но знать о них нужно. Особенность их в том, что, например, любые арифметические операции с ними приводят к ним же самим: d_inf1 + a # Decimal('Infinity') d_nan1 - 5 # Decimal('NaN') На следующем занятии мы продолжим эту тему и рассмотрим различные методы и математические функции для работы с числами класса Decimal. Курс по стандартной библиотеке: https://stepik.org/a/259466?utm_source=proproprogs Видео по теме |
