Множества (unique) и операции над ними

Смотреть материал на видео

На этом занятии познакомимся с еще одним типом математических операций пакета NumPy – работы со множествами. И ответим на первый вопрос: что такое множество с позиции NumPy? Смотрите, предположим имеется одномерный массив:

a = np.array([1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1])

В нем есть неуникальные (повторяющиеся) значения. Так вот, в множествах все значения должны быть уникальными и представленными в единственном варианте. Чтобы преобразовать массив a в множество используется функция unique:

setA = np.unique(a) # array([1, 2, 3, 4])

В действительности, это такой же массив, только с уникальными значениями.

У функции unique есть несколько полезных параметров. Первый из них return_counts:

np.unique(a, return_counts=True) # (array([1, 2, 3, 4]), array([2, 2, 2, 2]))

который позволяет возвращать не только уникальные значения, но и число их вхождений в исходном массиве a.

Следующий параметр return_index позволяет определять индексы первого вхождения уникальных элементов в исходном массиве:

np.unique(a, return_index=True) # (array([1, 2, 3, 4]), array([0, 1, 2, 3]))

Наконец, третий параметр return_inverse возвращает индексы, по которым можно точно восстановить исходный массив. Понять этот параметр проще всего на примере:

np.unique(a, return_inverse=True)

на выходе получим:

(array([1, 2, 3, 4]), array([0, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0], dtype=int32))

Видите, здесь 1 у множества имеет индекс 0 и во втором массиве стоят нули там, где должна быть 1. И так для всех значений. Далее, по этой информации можно выполнить восстановление исходного массива a. Делается это так:

setA, indx = np.unique(a, return_inverse=True)
aa = setA[indx] # array([1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1])

Подробнее о таком списочном индексировании мы поговорим на следующем занятии.

Функция unique также может работать и с многомерными массивами. Например:

x = np.array([[0, 1, 1, 2],[0, 1, 1, 2],[9, 1, 1, 2]])
np.unique(x) # array([0, 1, 2, 9])

То есть, она просматривает весь массив x и оставляет только уникальные значения. На выходе формируется обычный одномерный массив.

Однако, здесь мы можем дополнительно указывать оси, по которым будет происходить отбор уникальных значений, например, так:

np.unique(x, axis=0)

получим результат:

array([[0, 1, 1, 2],
[9, 1, 1, 2]])

Здесь использовалась первая ось, то есть, определялись уникальные строки. Если указать вторую ось:

np.unique(x, axis=1)

то получим уникальные столбцы:

array([[0, 1, 2],
[0, 1, 2],
[9, 1, 2]])

Операции над множествами

В NumPy есть несколько функций для выполнения базовых операций с множествами. Первая – это проверка вхождений элементов одного множества в другое. Например, заданы два массива с уникальными значениями (множества):

x = np.array([0, 1, 2, 3])
y = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8])

И выполним функцию in1d:

np.in1d(x, y) # array([False,  True,  True,  True])

На выходе получим массив булевых значений и там где стоит False означает отсутствие элемента, а там где стоит True – наличие совпадения. Причем, порядок следования элементов не имеет никакого значения. Если перемешать массив y:

np.random.shuffle(y) # array([5, 8, 4, 6, 2, 7, 3, 1])
np.in1d(x, y) # array([False,  True,  True,  True])

то видим тот же результат.

Пересечение множеств

Следующая базовая операция – это пересечение двух множеств, то есть, определение значений, которые входят в оба множества одновременно. Она выполняется с помощью функции:

np.intersect1d(x, y) # array([1, 2, 3])

Объединение множеств

Противоположная ей операция – объединение множеств, реализуется с помощью функции:

np.union1d(x, y) # array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8])

Соответственно, получим уникальные числа, которые входят в оба множества:

Вычитание множеств

Далее, множества можно вычитать друг из друга, причем результат будет зависеть от того, какое множество из какого вычитается:

Реализуются эти операции с помощью функции setdiff1d:

np.setdiff1d(x, y) # array([0])
np.setdiff1d(y, x) # array([4, 5, 6, 7, 8])

Симметричная разность (XOR)

Последняя базовая операция – это вычисление симметричной разности, то есть, остаются не совпадающие значения из двух множеств:

Реализуется это с помощью функции setxor1d:

np.setxor1d(x, y) # array([0, 4, 5, 6, 7, 8])

Вот так, с помощью пакета NumPy, можно работать с одномерными массивами, состоящих из уникальных значений и выполнять над ними операции как с множествами.