|
Простая L-система на плоскостиАрхив проекта: 3_fractals.py На предыдущем занятии мы с вами получили первый опыт рисования фрактала с помощью черепашьей графики на Python. Но каждый раз писать отдельную программу для прорисовки новой фрактальной кривой не лучшее занятие. Правильнее было бы оптимизировать этот процесс, используя универсальный подход к генерации различных фракталов. Именно эта идея положена в основу L-систем, создающие фрактальные изображения. Вначале мы сделаем такое упрощение. Все команды для черепашки опишем отдельными символами. Обычно, используют следующие обозначения:
Тогда команду для рисования одного сегмента кривой Коха можно записать в виде строки: "F+F--F+F" Причем, здесь F – это будет одно и то же движение вперед на строго заданное число пикселей, а повороты осуществляться на заданный угол в 60 градусов, так как для формирования кривой Коха нам нужен именно такой угол. У другого фрактала угол может быть другим. В результате, черепашка сначала пройдет вперед, затем, повернет влево на 60 градусов, снова пройдет вперед, повернет вправо на 120 градусов (два символа минус), опять пройдет вперед, повернет влево на 60 градусов и еще пройдет вперед. Получим сгемент ломаной. Но одной ломаной мало, на каждой новой итерации линейный сегмент также должен превращаться в такую же ломаную. Чтобы это сделать, давайте определим правило: каждый символ F на новой итерации должен заменяться на строку "F+F--F+F": "F" → "F+F--F+F" Например, для формирования кривой Коха 2-й итерации черепашка должна будет последовательно выполнить команды:
Мало того, саму первую итерацию также можно сформировать по этому же правилу, взяв за основу обычную прямую:
Вот эта первая предельная прямая в теории L-систем назыается инициатором или аксиомой. Таким образом, имея инициатор и правило формирования, мы получаем возможность генерировать описание фрактала на уровне команд черепашьей графики. Давайте реализуем класс, который бы выполнял описанные действия. Для начала мы пропишем базовый функционал в классе LSystem2D, который и будет представлять простую L-систему на плоскости: class LSystem2D: def __init__(self, t, axiom, width, length, angle): self.axiom = axiom # инициатор self.state = axiom # строка с набором команд для фрактала (вначале это инициатор) self.width = width # толщина линии рисования self.length = length # длина одного линейного сегмента кривой self.angle = angle # фиксированный угол поворота self.t = t # сама черепашка self.t.pensize(self.width) def draw_turtle(self, start_pos, start_angle): # *************** turtle.tracer(1, 0) # форсажный режим для черепашки self.t.up() # черепашка воспаряет над поверхностью (чтобы не было следа) self.t.setpos(start_pos) # начальная стартовая позиция self.t.seth(start_angle) # начальный угол поворота self.t.down() # черепашка опускается на "грешную землю" # *************** for move in self.state: if move == 'F': self.t.forward(self.length) elif move == '+': self.t.left(self.angle) elif move == '-': self.t.right(self.angle) turtle.done() # чтобы окно не закрывалось после отрисовки И воспользуемся им, следующим образом: # ************** чтобы окно появлялось в левом верхнем углу с размерами 1200x600 width = 1200 height = 600 screen = turtle.Screen() screen.setup(width, height, 0, 0) # ************** t = turtle.Turtle() t.ht() # скрываем черепашку pen_width = 2 # толщина линии рисования (в пикселах) f_len = 50 # длина одного сегмента прямой (в пикселах) angle = 60 # фиксированный угол поворота (в градусах) l_sys = LSystem2D(t, "F", pen_width, f_len, angle) l_sys.draw_turtle( (0, 0), 0) После запуска должны увидеть прямую линию. Отлично, начало положено. Осталось реализовать метод, который бы генерировал команды для описания фрактальной кривой согласно заданному правилу (или набору правил). Для этого, мы в конструкторе пропишем свойство, хранящее набор правил в виде словаря: self.rules = {} # словарь для хранения правил формирования кривых А ниже зададим метод, который будет добавлять новое правило в этот словарь: def add_rules(self, *rules): for key, value in rules: self.rules[key] = value Причем, правила будем передавать в виде списков из двух элементов в формате: (<что меняем>, <на что меняем>) Например, для построения кривой Коха, этот список будет таким: l_sys.add_rules(("F", "F+F--F+F")) Осталось применить это правило для генерации фрактала. За это будет отвечать метод generate_path: def generate_path(self, n_iter): for n in range(n_iter): for key, value in self.rules.items(): self.state = self.state.replace(key, value.lower()) self.state = self.state.upper() В качестве аргумента мы ему передаем число итераций для кривой и, затем, делаем цикл n_iter раз. На каждой итерации во внутреннем цикле перебираем все правила из словаря в формате ключ-значение и в формируемом маршруте (свойстве state) заменяем все найденные ключи на соответствующие значения. Причем, переводим все символы в нижний регистр. Это необходимо, чтобы у нас не было вложенных замен, при использовании нескольких правил. Когда одно правило содержит ключи из другого правила. Поэтому, я реализовал такой трюк – все замены делаются в нижнем регистре, полагая, что ключи всегда будут только в верхнем регистре. После всех замен вновь переводим строку в верхний регистр, как это и должно быть и получаем маршрут для черепашки на текущей итерации. Повторяем эту процедуру n_iter раз и у нас плучается готовая строка с набором необходимых команд. Теперь у нас все готово для генерации простых фрактальных кривых. Давайте это сделаем. Вначале, конечно же, нарисуем кривую Коха на 4-й итерации. Для этого вызовем метод: l_sys.generate_path(4) и установим длину сегмента в 5 пикселей: f_len = 5 После запуска увидим следующую картину:
Но чем хороша L-система, это то, что теперь у нас есть универсальный инструмент для построения большого числа разных фракталов. Например, чтобы получит снежинку Коха, достаточно инициатор определить в виде равностороннего треугольника: l_sys = LSystem2D(t, "F--F--F", pen_width, f_len, angle) Видите, как это просто! Нам не пришлось вносить изменения на уровне команд, а только поменять один параметр. Что еще можно изобразить такой L-системой? Например, такую кривую: angle = 90 axiom = "F-F-F-F" l_sys = LSystem2D(t, axiom, pen_width, f_len, angle) l_sys.add_rules(("F", "F+FF-FF-F-F+F+FF-F-F+F+FF+FF-F")) С числом итераций 2: l_sys.generate_path(2) Увидим следующее построение:
Уже неплохо. Однако, не все кривые можно построить непрерывно перемещая черепашку. Иногда ей нужно перескакивать с места на место. Для этого добавим еще одну команду: S – переместиться вперед без рисования пути Для этого в метод draw_turtle() добавим еще одну проверку: elif move == 'S': self.t.up() self.t.forward(self.length) self.t.down() И это все. Теперь можно генерировать еще более сложные фракталы. Например, такой «ковер»: angle = 90 axiom = "F+F+F+F" l_sys = LSystem2D(t, axiom, pen_width, f_len, angle) l_sys.add_rules(("F", "F+S-FF+F+FF+FS+FF-S+FF-F-FF-FS-FFF"), ('S', 'SSSSSS')) l_sys.generate_path(2)
Я думаю, вы уловили принцип использования L-систем для формирования и отображения разнообразных фрактальных кривых. Но то что мы сделали – это лишь первый шаг. На следующем занятии мы немного усложним алгоритм и сможем получать кривые еще более сложных форм. Видео по теме |
